Что такое сумма делителей

28.06.2025 в 23:43

Сумма делителей числа - это важное понятие в теории чисел, представляющее собой сумму всех натуральных делителей заданного числа, включая единицу и само число. Это значение имеет широкое применение в различных разделах математики.

1. Определение суммы делителей

Для натурального числа n сумма его делителей обозначается σ(n) и вычисляется по формуле:

σ(n) = сумма всех d, где d | n (d делит n)

• Для простых чисел: σ(p) = p + 1
• Для степени простого числа: σ(pk) = (pk+1 - 1)/(p - 1)

2. Примеры вычисления суммы делителей

3. Свойства суммы делителей

1. Мультипликативность: если m и n взаимно просты, то σ(mn) = σ(m)σ(n)
2. Для совершенных чисел σ(n) = 2n
3. Для недостаточных чисел σ(n) < 2n
4. Для избыточных чисел σ(n) > 2n

4. Применение суммы делителей

• Классификация чисел (совершенные, дружественные)
• Исследование распределения простых чисел
• В криптографических алгоритмах
• В теории представления чисел

5. Алгоритм вычисления суммы делителей

Для вычисления σ(n) необходимо:

1. Разложить число на простые множители
2. Применить формулу для степеней простых чисел
3. Перемножить результаты для разных простых делителей

Сумма делителей является фундаментальной характеристикой числа и находит применение во многих теоретических и практических задачах математики. Ее изучение помогает глубже понять свойства натуральных чисел и их взаимосвязи.