Чему равна сумма 1 + 2 + 3 + ... + n?

28.06.2025 в 22:34

Сумма первых n натуральных чисел - это классическая математическая задача, имеющая важное значение в алгебре и теории чисел. Рассмотрим различные аспекты этой суммы.

Формула для вычисления суммы

Сумма первых n натуральных чисел вычисляется по формуле:

Историческая справка

Эта формула была известна еще в древности. По легенде, Карл Фридрих Гаусс открыл ее в возрасте 7 лет, когда учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100.

Доказательство формулы

Метод Гаусса

1. Запишем сумму дважды: S = 1 + 2 + 3 + ... + n
2. И S = n + (n-1) + (n-2) + ... + 1
3. Сложим почленно: 2S = (n+1) + (n+1) + ... + (n+1)
4. Всего n слагаемых: 2S = n(n+1)
5. Отсюда: S = n(n+1)/2

Математическая индукция

• База индукции: для n=1 формула верна
• Предположение: формула верна для n=k
• Шаг индукции: докажем для n=k+1

Применение суммы натуральных чисел

Обобщения и связанные формулы

• Сумма квадратов: n(n+1)(2n+1)/6
• Сумма кубов: [n(n+1)/2]²
• Сумма арифметической прогрессии: (a₁ + aₙ)n/2

Интересные свойства

Треугольные числа - это частный случай суммы натуральных чисел, где результат можно представить в виде равностороннего треугольника.